आज का प्रश्न-228question no-228
प्रश्न-228 : सूत्र 22n-1 सूत्र n2 - n +41 तथा सूत्र n2 - 79 + 1601 क्या मान निकालने के लिए दिए गए थे, इन्होने शताब्दी तक अपनी सत्यता बना कर रखी परन्तु बाद में सही सूत्र प्राप्त होना एक अनसुलझी पहेली की तरह खड़ा है ?
उत्तर : कितना अच्छा होता कि कोई ऐसा सूत्र बनाया जाता कि उस से फटाफट अभाज्य संख्याएँ प्राप्त होती जाती और सभी अभाज्य संख्याएँ प्राप्त हो जाती। परन्तु ऐसा नहीं हो सका।
सन् 1640 में फेरमा ने एक सूत्र दिया 22n-1 जहां n = 1,2,3,4,......
परन्तु n=4 तक यह सूत्र 5, 17, 257, 65537 सही संख्याएँ देकर यह सूत्र एक शताब्दी तक राज करता रहा परन्तु अब जर्मनी के गणितज्ञ आयलर ने दर्शा दिया कि n = 5 से प्राप्त संख्या 4294967297अभाज्य नहीं है बल्कि 6700417 तथा 641 का गुणनफल है।
आयलर ने सिद्ध कर दिया कि यह सूत्र ना तो सभी अभाज्य संख्याएँ देता है और ना ही सिर्फ अभाज्य संख्याएँ।
अब एक और सूत्र दिया गया n2 - n + 41 जहां n = 1,2,3,4,...... यह n=40 तक अभाज्य संख्याएँ देता है परन्तु n=41 पर यह सूत्र निम्न संख्यां देता है,
(41*41)-41+41=41*41
जो कि अभाज्य संख्या नहीं है।
इसी प्रयास में एक अन्य सूत्र भी आया,
n2 - 79 + 1601 जहां n = 1,2,3,4,...... यह n=79 तक अभाज्य संख्याएँ देता है परन्तु n=80 पर यह सूत्र असफल हो जाता है।
लगता है कि हम इस प्रकार का कोई ऐसा सूत्र जो अभाज्य संख्याएँ दे, को प्राप्त कर पाना कठिन लगता है परन्तु पता नहीं है कि भविष्य के गर्भ में क्या-क्या छुपा पड़ा है।
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प्रस्तुति: सी.वी.रमण विज्ञान क्लब यमुनानगर हरियाणा
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