आज का प्रश्न-222question no-222

आज का प्रश्न-222question no-222

प्रश्न-222 : एक गणितीय किस्से में एक दरबारी ने राजा को 64 खानों(Squares) वाला एक खेल संभवतः शतरंज बना कर दिया,राजा बहुत खुश हुआ और गणितज्ञ दरबारी को इनाम मांगने को कहा। चतुर दरबारी ने कहा मुझे सभी 64 खानों में गेहूं के दाने इस प्रकार से देवें कि 

पहले खाने में 1 गेहूं का दाना,

दूसरे खाने में पहले के दुगने यानी कि 2 दाने,

तीसरे खाने में दूसरे के दुगने यानी कि 4 दाने,

चौथे खाने में तीसरे के दुगने यानी कि 8 दाने,

पांचवें खाने में चौथे के दुगने यानी कि 16 दाने,

छटे खाने में पांचवे के दुगने यानी कि 32 दाने,

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इस प्रकार हर पिछले खाने के दुगने करते हुए 64 खाने तक जितनी गेहूं आती है वो मुझे इनाम में दे दो।

तो बताओ राजा को कितनी गेहूं उस गणितज्ञ दरबारी को देनी पड़ेगी ?

(नोट :एक बोरा = 50 लाख दाने = 50 किलोग्राम लगभग) 
  

उत्तर : राजा कभी भी उस का इनाम नहीं दे सकता, 

बीसवे खाने के हिसाब तक ही राजा का पहला बोरा समाप्त हो गया, 

फिर राजा ने और बहुत से बोरे मंगवाए, 

परन्तु हर नए खाने के साथ साथ दानो की संख्यां तेजी से बढ़ती गयी। 

राजा अपना वचन पूरा नहीं कर पाया क्यूंकि उस को निम्न संख्यां में दानो की आवश्यकता थी।  

दानो की संख्या =1 + 2 + 4 + 8 + 16+32+64+128+256+512+…...............+2^64

दानो की संख्या = 18,446,744,073,709,551,615 

अब एक बोरे में 50 लाख दाने आते हैं तब,

बोरों की संख्यां = 4 * 10^12 

=40 खरब बोरे 

=20 खरब कुन्तल गेहूं 

राजा के स्टाक में इतनी गेहूं नहीं थी, राजा पूरी दुनिया का गेहू मगवा कर भी हज़ारों वर्षों में उस का इनाम दे सकता जो कि सम्भव नहीं था । 

इस प्रकार की बढोतरी की श्रृंखला को गणित में ज्यामितीय श्रृंखला(geometric series) कहते हैं।  

इस प्रश्न का और बेहतर हल जानने के लिए आप उन्मुक्त जी के इस लिंक २ की पॉवर के अंक, पहेलियां, और कमप्यूटर विज्ञान नाम से लिखी दो कड़ियां  शतरंज का जादू और सृष्टि का अन्त पर जायें। 

 उन्मुक्त जी, राज भाटिया जी का व  फेसबुक मित्रों बहुत बहुत धन्यवाद 

सभी टिप्पणी कर्ताओं का जी धन्यवाद

प्रस्तुति: सी.वी.रमण विज्ञान क्लब यमुनानगर हरियाणा